lunes, 15 de marzo de 2010
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
DEL ESTADO TRUJILLO
DPTO. MANTENIMIENTO DE EQUIPOS ELÉCTRICOS
PNF ELECTRICIDAD
AUTORES:
García Morón Osman José C.I 19.428.818
Gonzales Villegas Royer Daniel C.I 21.062.174
Garcés Bastidas Nelson José C.I 21.364.085
Mendoza Gonzales Ernesto De Jesús C.I 21.063.058
Montilla Hernández José Daniel C.I 20.429.483
Ruiz Olivar Jesús Argenis C.I 21.363.144
Velazquez Olivar Rafael Angel C.I 2º.656.979
P.N.F Electricidad, Trayecto I, Trimestre I, Sección I
Valera, marzo 2010
Índice
Pág.
Introducción. . . . . . . . . . . 03
Funciones. . . . . . . . . . . 04
Tipo De Funciones. . . . . . . . . . 06
Funciones Explicites e Implícitas. . . . . . . . 11
Funciones Algebraicas. . . . . . . . . 11
Funciones Trigonométricas. . . . . . . . 12
Grafica De Funciones. . . . . . . . . 12
Dominio Y Rango. . . . . . . . . . 15
Función De Conjunto. . . . . . . . . 15
Funciones Inyectivas. . . . . . . . . 16
Funciones Biyectiva. . . . . . . . . 17
Funciones Sobreyectiva. . . . . . . . . 18
Conclusión. . . . . . . . . . . 20
Bibliografía. . . . . . . . . . . 21
Introducción
La función, en términos matemáticos, es usada para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x.
En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello.
Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido".
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Funciones
Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido".
Una función puede considerarse como un caso particular de una relación o de correspondencia matemática. Cada relación o correspondencia de un elemento con un (y sólo un) se denota , en lugar de
Formalmente, pedimos que se cumplan las siguientes dos condiciones:
1. Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionados con elementos de Y, es decir,
2. Condición de unicidad: Cada elemento de X está relacionado con un único elemento de Y, es decir, si
Notación y nomenclatura
Al dominio también se le llama conjunto de entrada o conjunto inicial. Se denota por o . A los elementos del dominio se les llama habitualmente argumento de la función.
Al codominio, también llamado, conjunto de llegada, conjunto final o rango de f se le denota por
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o codomf
Cabe señalar que el término rango es ambiguo en la literatura, ya que puede hacer referencia tanto al codominio como al conjunto imagen. Por ello, es aconsejable usar el término codominio.
Si x es un elemento del dominio al elemento del codominio asignado por la función y denotado por f(x) se le llama valor o imagen de la función f de x. Al subconjunto del codominio formado por todos los valores o imágenes se le llama imagen, alcance o recorrido de la función. Se denota por o o .
Una preimagen de un es algún tal que .
Note que puede haber algunos elementos del codominio que no sean imagen de un elemento del dominio, pero que cada elemento del dominio es preimagen de al menos un elemento del codominio.
Ejemplos
• La función definida por , tiene como dominio, codominio e imagen a todos los números reales
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Función con Dominio X y Rango Y
• Para la función tal que , en cambio, si bien su dominio y codominio son iguales a , sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞ que sean el cuadrado de un número real.
• En la figura se puede apreciar una función , con
Note que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. Además, el elemento a de Y no tiene origen, y el elemento b tiene dos (el 1 y el 4). Finalmente,
Esta función representada como relación, queda:
Tipo De Funciones:
Función Constante
Se llama función constante a la que no depende de ninguna variable, y la podemos representar como una función matemática de la forma:
F(x)=a donde a pertenece a los números reales y es una constante.
06
Como se puede ver es una recta horizontal en el plano x y, en la gráfica la hemos representado en el plano, pero, como se puede ver la función no depende de x, si hacemos:
Y=F(x) entonces Y=adonde a tiene un valor constante, en la gráfica tenemos representadas:
Para valores de a iguales: Y=8Y=4,2Y=-3,6
La función constante como un polinomio en x es de la forma
Se dice que es constante porque su valor no cambia, a cada valor de x le corresponde siempre el valor a.
El Dominio de la función constante va hacer igual siempre a "Todos los Reales "Mientras que la imagen tan solo va hacer el valor de a.
Es una Función Continua.
¿Qué significa la recta representa por la función y=0?
Representa que la recta pasara por todo el eje X.
Función lineal
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Es aquella que satisface las siguientes dos propiedades:
• Propiedad aditiva (también llamada propiedad de superposición): Si existen f(x) y f (y), entonces f(x + y) = f(x) + f (y). Se dice que f es un grupo isomorfista con respecto a la adición.
• Propiedad homogénea: f (ax) = af(x), para todo número real a. Esto hace que la homogeneidad siga a la propiedad aditiva en todos los casos donde a es racional. En el caso de que la función lineal sea continua, la homogeneidad no es un axioma adicional para establecer si la propiedad aditiva está establecida.
En esta definición x no es necesariamente un número real, pero es en general miembro de algún espacio vectorial.
Para comprobar la linealidad de una función no es necesario realizar la comprobación de las propiedades de homogeneidad y actividad por separado, con mostrar que la linealidad queda demostrada.
El concepto de linealidad puede ser extendido al operador lineal. Ejemplos importantes de operaciones lineales incluyen a la derivada considerada un operador diferencial y muchos construidos de él, tal como el Laplaciano. Cuando una ecuación diferencial puede ser expresada en forma lineal, es particularmente fácil de resolver al romper la ecuación en pequeñas piezas, resolviendo cada una de estas piezas y juntando las soluciones.
Las ecuaciones no lineales y las funciones no lineales son de interés en la física y matemáticas debido a que son difíciles de resolver y dan lugar a interesantes fenómenos como la teoría del caos.
08
Función Cuadrática
La función cuadrática responde a la formula: y= a x2 + b x + c con a =/ 0. Su gráfica es una curva llamada parábola cuyas características son:
Si a es mayor a 0 es cóncava y admite un mínimo. Si a es menor a 0 es convexa y admite un máximo. Vértice: Puntos de la curva donde la función alcanza el máximo o el mínimo.
Eje de simetría: x = xv.
Intersección con el eje y.
Intersecciones con el eje x: se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado.
Función Logarítmica
Se llama función logarítmica a la función real de variable real:
La función logarítmica es una aplicación biyectiva definida de R*+ en R:
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• La función logarítmica solo está definida sobre los números positivos.
• Los números negativos y el cero no tienen logaritmo
• La función logarítmica de base a es la recíproca de la función exponencial de base a.
• Las funciones logarítmicas más usuales son la de base 10 y la de base e = 2"718281...
Debido a la continuidad de la función logarítmica, los límites de la forma
Se hallan por medio de la fórmula:
Función Exponencial
La función exponencial (de base e) es una función real que tiene la propiedad de que al ser derivada se obtiene la misma función. Toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales. Además la función exponencial es la función inversa del logaritmo natural. Esta función se denota equivalentemente como donde e es la base de los logaritmos naturales.
En términos generales, una función real F(x) es de tipo exponencial si tiene la forma
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Siendo números reales, . Se observa en los gráficos que la curva será creciente.
Funciones Explícitas e Implícitas
Cuando en una función figuran dos variables, cualquiera de ella se puede tomar como variable independiente y la otra como función. Mas, si la variable que se considera como función está despejada, se dice que la función es explícita y si no está despejada se dice que está implícita.
a) En y = 3 x2, donde y = f(x), y tiene el carácter de Función Explícita
b) En xy = 3x - y-2, donde y =, y tiene el carácter de Función Implícita
Funciones Algebraicas:
En matemáticas, una función algebraica es una función que satisface una ecuación polinomica cuyos coeficientes son a su vez polinomios. Por ejemplo, una función algebraica de una variable x es una solución y a la ecuación
Donde los coeficientes ai(x) son funciones poli nómicas de x. Una función que no es algebraica es denominada una función trascendente.
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En términos más precisos, una función algebraica puede no ser estrictamente una función, por lo menos no en el sentido convencional. Por ejemplo sea la ecuación de una circunferencia:
La misma determina y, excepto por su signo:
Sin embargo, se considera que ambas ramas pertenecen a la "función" determinada por la ecuación polinomica.
Una función algebraica de n variable es definida en forma similar a la función y que es solución de la ecuación polinomica en n + 1 variables:
Normalmente se supone que p debe ser un polinomio irreducible. La existencia de una función algebraica es asegurada por el teorema de la función implícita.
Formalmente, una función algebraica de n variables en el cuerpo K es un elemento del cierre algebraico del cuerpo de las funciones racionales K(x1,...,xn). Para poder comprender a las funciones algebraicas como funciones, es necesario incorporar ideas relativas a las superficies de Riemann o en un ámbito más general sobre variedades algebraicas, y teoría de haces.
Funciones Trigonométricas:
Las funciones trigonométricas, en matemática, son relaciones angulares; guardan relación con el estudio de la geometría de los triángulos y son de gran importancia en astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.
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Todas las funciones trigonométricas de un ángulo θ pueden ser construidas geométricamente en relación a una circunferencia de radio unidad de centro O.
Propiedades de las funciones trigonométricas
Como características importantes y distintivas de las funciones trigonométricas pueden resaltarse las siguientes:
• Las funciones seno, coseno y tangente son de naturaleza periódica, de manera que el periodo de las funciones seno y coseno es 2 y el de la función tangente es .
• Las funciones seno y coseno están definidas para todo el conjunto de los números reales. Ambas son funciones continuas (no así la función tangente).
• Las funciones seno y coseno están acotadas, ya que sus valores están contenidos en el intervalo [-1,1]. La función tangente no está acotada.
• Las funciones seno y tangente son simétricas respecto al origen, ya que sen (-x) = -sen x; tg (-x)=-tg x. En cambio, la función coseno es simétrica respecto al eje Y: cos (-x) = cos x.
Grafica De Funciones:
Realizamos la gráfica de la siguiente función definida por una tabla.
Edad x (años) 0 5 10 15 20
Altura y (metros) 0,5 1,1 1,4 1,7 1,8
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Dibujamos unos ejes cartesianos: en el eje de abscisas marcaremos los valores de la variable x, y en el eje de ordenadas, los de la variable y.
Los puntos de la gráfica se obtienen al representar cada punto. En este caso podemos unir los puntos porque, aunque no aparezcan los valores de las alturas para todas las edades, para cualquier edad siempre habrá una altura.
Edad y altura
Dada esta gráfica, construimos una tabla de valores asociada a ella.
Representación gráfica
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Identificamos puntos de la gráfica y los escribimos en una tabla, coordenada a coordenada.
x -1 0 1
y -1 0 1
Dominio y rango:
El dominio de esta función son todos los reales mayores o iguales a 0, ya que no puede tener valores negativos y = 1/x el dominio son todos los reales a excepción del 0, ya que 1/0 no está definida y = LN(x) el dominio de ésta son todos los reales mayores a 0, la función no puede tomar valores negativos o nulo y = 2x la función está definida para cualquier valor de x
El rango es el conjunto de valores que puede tomar la función en base a los valores del dominio, y = x² y = |x| el rango son todos los reales mayores o iguales a 0 y = sen(x) y = cos (x) el rango son todos los valores incluidos en el intervalo cerrado de [-1,1] tienes que tener en cuenta que a cada elemento del dominio le corresponde una sola imagen en el recorrido, no así lo contrario, puede haber un elemento imagen de 2 elementos del dominio
Funciones de Conjuntos
Una función de conjuntos recupera un conjunto a partir de una dimensión, jerarquía o nivel, o bien recorriendo las ubicaciones absolutas y relativas de los miembros de dichos objetos, para generar luego conjuntos de varias maneras. Las funciones de conjunto, al igual que las funciones de tulpa y de conjunto, son esenciales para negociar las estructuras multidimensionales de Analysis Services. Las funciones de conjuntos son vitales para obtener resultados de las consultas MDX (Expresiones multidimensionales) porque las expresiones de conjuntos definen los ejes de una consulta MDX.
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Función Inyectivas
Ejemplo de función Inyectivas.
En matemáticas, una función es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto (imagen) de . Es decir, a cada elemento del conjunto A le corresponde un solo valor tal que, en el conjunto A no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.
Así, por ejemplo, la función de números reales , dada por no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como f (2) y f( − 2). Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función entonces sí se obtiene una función inyectiva.
Definición formal
De manera más precisa, una función es inyectiva cuando se cumple alguna de las dos afirmaciones equivalentes:
• Si x1,x2 son elementos de tales que f(x1) = f(x2), necesariamente se cumple x1 = x2.
• Si x1,x2 son elementos diferentes de , necesariamente se cumple
Los siguientes diagramas corresponden a función inyectiva:
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Función biyectiva
Ejemplo de función biyectiva.
En matemática, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva.
Formalmente,
Para ser más claro se dice que una función biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, que es la regla de la función inyectiva. Sumándole que cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada, en este caso (y) que es la norma que exige la función sobreyectiva.
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Teorema
Si es una función biyectiva, entonces su función inversa existe y también es biyectiva.
Ejemplo
La función es biyectiva.
Luego, su inversa también lo es.
El siguiente diagrama corresponde a una función biyectiva:
Función sobreyectiva
Ejemplo de función sobreyectiva.
En matemática, una función es sobreyectiva (epiyectiva, suprayectiva, suryectiva o exhaustiva), si está aplicada sobre todo él codominio, es decir, cuando la imagen , o en palabras más sencillas, cuando cada elemento de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X".
Formalmente,
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Los siguientes diagramas corresponden a función sobreyectiva:
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Conclusión
Tras el estudio de las funciones matemáticas, se puede concluir en que son muy importantes, de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables.
Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona un conjunto de determinados objetos o productos alimenticios, con el costo en pesos para así saber cuánto podemos comprar; si lo llevamos al plano, podemos escribir esta correspondencia en una ecuación de función "x" como el precio y la cantidad de producto como "y".
Además a través de este trabajo se pudo conocer los diversos tipos de funciones y la importancia de ellos para realizar las gráficas lo cual va a depender de cada tipo de función.
Creemos que el resultado obtenido tras el trabajo de investigación fue positivo, ya que se cumple la consiga en cuanto a la información teórica, y creemos que también esta monografía nos será útil en la práctica
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Bibliografia
• . http://es.wikipedia.org/wiki/Representaci%C3%B3n_gr%C3%A1fica_de_una_funci%C3%B3n
• http://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica
• http://espanol.answers.yahoo.com/question/index?qid=20070223063203AAUpLEY
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MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
DEL ESTADO TRUJILLO
DPTO. MANTENIMIENTO DE EQUIPOS ELÉCTRICOS
PNF ELECTRICIDAD
AUTORES:
García Morón Osman José C.I 19.428.818
Gonzales Villegas Royer Daniel C.I 21.062.174
Garcés Bastidas Nelson José C.I 21.364.085
Mendoza Gonzales Ernesto De Jesús C.I 21.063.058
Montilla Hernández José Daniel C.I 20.429.483
Ruiz Olivar Jesús Argenis C.I 21.363.144
Velazquez Olivar Rafael Angel C.I 2º.656.979
P.N.F Electricidad, Trayecto I, Trimestre I, Sección I
Valera, marzo 2010
Índice
Pág.
Introducción. . . . . . . . . . . 03
Funciones. . . . . . . . . . . 04
Tipo De Funciones. . . . . . . . . . 06
Funciones Explicites e Implícitas. . . . . . . . 11
Funciones Algebraicas. . . . . . . . . 11
Funciones Trigonométricas. . . . . . . . 12
Grafica De Funciones. . . . . . . . . 12
Dominio Y Rango. . . . . . . . . . 15
Función De Conjunto. . . . . . . . . 15
Funciones Inyectivas. . . . . . . . . 16
Funciones Biyectiva. . . . . . . . . 17
Funciones Sobreyectiva. . . . . . . . . 18
Conclusión. . . . . . . . . . . 20
Bibliografía. . . . . . . . . . . 21
Introducción
La función, en términos matemáticos, es usada para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x.
En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello.
Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido".
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Funciones
Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido".
Una función puede considerarse como un caso particular de una relación o de correspondencia matemática. Cada relación o correspondencia de un elemento con un (y sólo un) se denota , en lugar de
Formalmente, pedimos que se cumplan las siguientes dos condiciones:
1. Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionados con elementos de Y, es decir,
2. Condición de unicidad: Cada elemento de X está relacionado con un único elemento de Y, es decir, si
Notación y nomenclatura
Al dominio también se le llama conjunto de entrada o conjunto inicial. Se denota por o . A los elementos del dominio se les llama habitualmente argumento de la función.
Al codominio, también llamado, conjunto de llegada, conjunto final o rango de f se le denota por
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o codomf
Cabe señalar que el término rango es ambiguo en la literatura, ya que puede hacer referencia tanto al codominio como al conjunto imagen. Por ello, es aconsejable usar el término codominio.
Si x es un elemento del dominio al elemento del codominio asignado por la función y denotado por f(x) se le llama valor o imagen de la función f de x. Al subconjunto del codominio formado por todos los valores o imágenes se le llama imagen, alcance o recorrido de la función. Se denota por o o .
Una preimagen de un es algún tal que .
Note que puede haber algunos elementos del codominio que no sean imagen de un elemento del dominio, pero que cada elemento del dominio es preimagen de al menos un elemento del codominio.
Ejemplos
• La función definida por , tiene como dominio, codominio e imagen a todos los números reales
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Función con Dominio X y Rango Y
• Para la función tal que , en cambio, si bien su dominio y codominio son iguales a , sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞ que sean el cuadrado de un número real.
• En la figura se puede apreciar una función , con
Note que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. Además, el elemento a de Y no tiene origen, y el elemento b tiene dos (el 1 y el 4). Finalmente,
Esta función representada como relación, queda:
Tipo De Funciones:
Función Constante
Se llama función constante a la que no depende de ninguna variable, y la podemos representar como una función matemática de la forma:
F(x)=a donde a pertenece a los números reales y es una constante.
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Como se puede ver es una recta horizontal en el plano x y, en la gráfica la hemos representado en el plano, pero, como se puede ver la función no depende de x, si hacemos:
Y=F(x) entonces Y=adonde a tiene un valor constante, en la gráfica tenemos representadas:
Para valores de a iguales: Y=8Y=4,2Y=-3,6
La función constante como un polinomio en x es de la forma
Se dice que es constante porque su valor no cambia, a cada valor de x le corresponde siempre el valor a.
El Dominio de la función constante va hacer igual siempre a "Todos los Reales "Mientras que la imagen tan solo va hacer el valor de a.
Es una Función Continua.
¿Qué significa la recta representa por la función y=0?
Representa que la recta pasara por todo el eje X.
Función lineal
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Es aquella que satisface las siguientes dos propiedades:
• Propiedad aditiva (también llamada propiedad de superposición): Si existen f(x) y f (y), entonces f(x + y) = f(x) + f (y). Se dice que f es un grupo isomorfista con respecto a la adición.
• Propiedad homogénea: f (ax) = af(x), para todo número real a. Esto hace que la homogeneidad siga a la propiedad aditiva en todos los casos donde a es racional. En el caso de que la función lineal sea continua, la homogeneidad no es un axioma adicional para establecer si la propiedad aditiva está establecida.
En esta definición x no es necesariamente un número real, pero es en general miembro de algún espacio vectorial.
Para comprobar la linealidad de una función no es necesario realizar la comprobación de las propiedades de homogeneidad y actividad por separado, con mostrar que la linealidad queda demostrada.
El concepto de linealidad puede ser extendido al operador lineal. Ejemplos importantes de operaciones lineales incluyen a la derivada considerada un operador diferencial y muchos construidos de él, tal como el Laplaciano. Cuando una ecuación diferencial puede ser expresada en forma lineal, es particularmente fácil de resolver al romper la ecuación en pequeñas piezas, resolviendo cada una de estas piezas y juntando las soluciones.
Las ecuaciones no lineales y las funciones no lineales son de interés en la física y matemáticas debido a que son difíciles de resolver y dan lugar a interesantes fenómenos como la teoría del caos.
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Función Cuadrática
La función cuadrática responde a la formula: y= a x2 + b x + c con a =/ 0. Su gráfica es una curva llamada parábola cuyas características son:
Si a es mayor a 0 es cóncava y admite un mínimo. Si a es menor a 0 es convexa y admite un máximo. Vértice: Puntos de la curva donde la función alcanza el máximo o el mínimo.
Eje de simetría: x = xv.
Intersección con el eje y.
Intersecciones con el eje x: se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado.
Función Logarítmica
Se llama función logarítmica a la función real de variable real:
La función logarítmica es una aplicación biyectiva definida de R*+ en R:
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• La función logarítmica solo está definida sobre los números positivos.
• Los números negativos y el cero no tienen logaritmo
• La función logarítmica de base a es la recíproca de la función exponencial de base a.
• Las funciones logarítmicas más usuales son la de base 10 y la de base e = 2"718281...
Debido a la continuidad de la función logarítmica, los límites de la forma
Se hallan por medio de la fórmula:
Función Exponencial
La función exponencial (de base e) es una función real que tiene la propiedad de que al ser derivada se obtiene la misma función. Toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales. Además la función exponencial es la función inversa del logaritmo natural. Esta función se denota equivalentemente como donde e es la base de los logaritmos naturales.
En términos generales, una función real F(x) es de tipo exponencial si tiene la forma
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Siendo números reales, . Se observa en los gráficos que la curva será creciente.
Funciones Explícitas e Implícitas
Cuando en una función figuran dos variables, cualquiera de ella se puede tomar como variable independiente y la otra como función. Mas, si la variable que se considera como función está despejada, se dice que la función es explícita y si no está despejada se dice que está implícita.
a) En y = 3 x2, donde y = f(x), y tiene el carácter de Función Explícita
b) En xy = 3x - y-2, donde y =, y tiene el carácter de Función Implícita
Funciones Algebraicas:
En matemáticas, una función algebraica es una función que satisface una ecuación polinomica cuyos coeficientes son a su vez polinomios. Por ejemplo, una función algebraica de una variable x es una solución y a la ecuación
Donde los coeficientes ai(x) son funciones poli nómicas de x. Una función que no es algebraica es denominada una función trascendente.
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En términos más precisos, una función algebraica puede no ser estrictamente una función, por lo menos no en el sentido convencional. Por ejemplo sea la ecuación de una circunferencia:
La misma determina y, excepto por su signo:
Sin embargo, se considera que ambas ramas pertenecen a la "función" determinada por la ecuación polinomica.
Una función algebraica de n variable es definida en forma similar a la función y que es solución de la ecuación polinomica en n + 1 variables:
Normalmente se supone que p debe ser un polinomio irreducible. La existencia de una función algebraica es asegurada por el teorema de la función implícita.
Formalmente, una función algebraica de n variables en el cuerpo K es un elemento del cierre algebraico del cuerpo de las funciones racionales K(x1,...,xn). Para poder comprender a las funciones algebraicas como funciones, es necesario incorporar ideas relativas a las superficies de Riemann o en un ámbito más general sobre variedades algebraicas, y teoría de haces.
Funciones Trigonométricas:
Las funciones trigonométricas, en matemática, son relaciones angulares; guardan relación con el estudio de la geometría de los triángulos y son de gran importancia en astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.
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Todas las funciones trigonométricas de un ángulo θ pueden ser construidas geométricamente en relación a una circunferencia de radio unidad de centro O.
Propiedades de las funciones trigonométricas
Como características importantes y distintivas de las funciones trigonométricas pueden resaltarse las siguientes:
• Las funciones seno, coseno y tangente son de naturaleza periódica, de manera que el periodo de las funciones seno y coseno es 2 y el de la función tangente es .
• Las funciones seno y coseno están definidas para todo el conjunto de los números reales. Ambas son funciones continuas (no así la función tangente).
• Las funciones seno y coseno están acotadas, ya que sus valores están contenidos en el intervalo [-1,1]. La función tangente no está acotada.
• Las funciones seno y tangente son simétricas respecto al origen, ya que sen (-x) = -sen x; tg (-x)=-tg x. En cambio, la función coseno es simétrica respecto al eje Y: cos (-x) = cos x.
Grafica De Funciones:
Realizamos la gráfica de la siguiente función definida por una tabla.
Edad x (años) 0 5 10 15 20
Altura y (metros) 0,5 1,1 1,4 1,7 1,8
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Dibujamos unos ejes cartesianos: en el eje de abscisas marcaremos los valores de la variable x, y en el eje de ordenadas, los de la variable y.
Los puntos de la gráfica se obtienen al representar cada punto. En este caso podemos unir los puntos porque, aunque no aparezcan los valores de las alturas para todas las edades, para cualquier edad siempre habrá una altura.
Edad y altura
Dada esta gráfica, construimos una tabla de valores asociada a ella.
Representación gráfica
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Identificamos puntos de la gráfica y los escribimos en una tabla, coordenada a coordenada.
x -1 0 1
y -1 0 1
Dominio y rango:
El dominio de esta función son todos los reales mayores o iguales a 0, ya que no puede tener valores negativos y = 1/x el dominio son todos los reales a excepción del 0, ya que 1/0 no está definida y = LN(x) el dominio de ésta son todos los reales mayores a 0, la función no puede tomar valores negativos o nulo y = 2x la función está definida para cualquier valor de x
El rango es el conjunto de valores que puede tomar la función en base a los valores del dominio, y = x² y = |x| el rango son todos los reales mayores o iguales a 0 y = sen(x) y = cos (x) el rango son todos los valores incluidos en el intervalo cerrado de [-1,1] tienes que tener en cuenta que a cada elemento del dominio le corresponde una sola imagen en el recorrido, no así lo contrario, puede haber un elemento imagen de 2 elementos del dominio
Funciones de Conjuntos
Una función de conjuntos recupera un conjunto a partir de una dimensión, jerarquía o nivel, o bien recorriendo las ubicaciones absolutas y relativas de los miembros de dichos objetos, para generar luego conjuntos de varias maneras. Las funciones de conjunto, al igual que las funciones de tulpa y de conjunto, son esenciales para negociar las estructuras multidimensionales de Analysis Services. Las funciones de conjuntos son vitales para obtener resultados de las consultas MDX (Expresiones multidimensionales) porque las expresiones de conjuntos definen los ejes de una consulta MDX.
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Función Inyectivas
Ejemplo de función Inyectivas.
En matemáticas, una función es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto (imagen) de . Es decir, a cada elemento del conjunto A le corresponde un solo valor tal que, en el conjunto A no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.
Así, por ejemplo, la función de números reales , dada por no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como f (2) y f( − 2). Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función entonces sí se obtiene una función inyectiva.
Definición formal
De manera más precisa, una función es inyectiva cuando se cumple alguna de las dos afirmaciones equivalentes:
• Si x1,x2 son elementos de tales que f(x1) = f(x2), necesariamente se cumple x1 = x2.
• Si x1,x2 son elementos diferentes de , necesariamente se cumple
Los siguientes diagramas corresponden a función inyectiva:
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Función biyectiva
Ejemplo de función biyectiva.
En matemática, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva.
Formalmente,
Para ser más claro se dice que una función biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, que es la regla de la función inyectiva. Sumándole que cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada, en este caso (y) que es la norma que exige la función sobreyectiva.
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Teorema
Si es una función biyectiva, entonces su función inversa existe y también es biyectiva.
Ejemplo
La función es biyectiva.
Luego, su inversa también lo es.
El siguiente diagrama corresponde a una función biyectiva:
Función sobreyectiva
Ejemplo de función sobreyectiva.
En matemática, una función es sobreyectiva (epiyectiva, suprayectiva, suryectiva o exhaustiva), si está aplicada sobre todo él codominio, es decir, cuando la imagen , o en palabras más sencillas, cuando cada elemento de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X".
Formalmente,
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Los siguientes diagramas corresponden a función sobreyectiva:
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Conclusión
Tras el estudio de las funciones matemáticas, se puede concluir en que son muy importantes, de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables.
Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona un conjunto de determinados objetos o productos alimenticios, con el costo en pesos para así saber cuánto podemos comprar; si lo llevamos al plano, podemos escribir esta correspondencia en una ecuación de función "x" como el precio y la cantidad de producto como "y".
Además a través de este trabajo se pudo conocer los diversos tipos de funciones y la importancia de ellos para realizar las gráficas lo cual va a depender de cada tipo de función.
Creemos que el resultado obtenido tras el trabajo de investigación fue positivo, ya que se cumple la consiga en cuanto a la información teórica, y creemos que también esta monografía nos será útil en la práctica
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Bibliografia
• . http://es.wikipedia.org/wiki/Representaci%C3%B3n_gr%C3%A1fica_de_una_funci%C3%B3n
• http://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica
• http://espanol.answers.yahoo.com/question/index?qid=20070223063203AAUpLEY
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domingo, 14 de marzo de 2010
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