limites y derivadas

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
DEL ESTADO TRUJILLO
DPTO. MANTENIMIENTO DE EQUIPOS ELÉCTRICOS
PNF ELECTRICIDAD



AUTORES:
García Morón Osman José C.I 19.428.818
Gonzales Villegas Royer Daniel C.I 21.062.174
Garcés Bastidas Nelson José C.I 21.364.085
Mendoza Gonzales Ernesto De Jesús C.I 21.063.058
Montilla Hernández José Daniel C.I 20.429.483
Ruiz Olivar Jesús Argenis C.I 21.363.144
Velazquez Olivar Rafael Angel C.I 20.656.979
P.N.F Electricidad, Trayecto I, Trimestre I, Sección I
Valera, abril 2010

Índice
Pág.
Introducción. . . . . . . . . . . 03
Limite. . . . . . . . . . . 04
Definición matemática de límite. . . . . . . . 06
Limite de una función. . . . . . . . . 08
Definición rigurosa. . . . . . . . . . 09
Limite de una función en un punto. . . . . . . . 09
Límite notable. . . . . . . . . . 09
Demostración de límite. . . . . . . . . 10
Limite de una sucesión. . . . . . . . . 11
Propiedades de límite. . . . . . . . . 12
Indeterminaciones. . . . . . . . . . 12
Derivadas. . . . . . . . . . . 13
Concepto y aplicaciones. . . . . . . . . 14
Introducción geométrica a las derivadas. . . . . . . 15
Condiciones de continuidad de una función. . . . . . . 16
Conducción no reciproca. . . . . . . . . 17
Definición analítica de derivadas como un límite. . . . . . 18
Notación de derivadas. . . . . . . . . 19
Diferenciabilidad. . . . . . . . . . 21
Cociente de diferencia de Newton. . . . . . . . 22
Derivadas por definición. . . . . . . . . 23
Lista de derivadas de funciones elementales. . . . . . 28
Ejemplo de derivadas. . . . . . . . . 29
Conclusión. . . . . . . . . . . 31
Bibliografía. . . . . . . . . . . 32












Introducción

En la actualidad para la matemática el límite y las derivadas son dos elementos fundamentales, el límite es una definición formal; la cual no es muy apreciable para el común de la gente. Dicha formulación matemática es más conocida como épsilon-delta, por lo tanto es importante entender el concepto de limite como aquella herramienta matemática que sirve para conocer el comportamiento de una función alrededor de un punto; y las derivadas no es otra cosa que la pendiente de la recta tangente a un ponto de una función, recordemos que una recta tangente es la recta que corta en un punto a una función, mientras que una secante es la recta que lo hace por dos puntos.













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Límite
El límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.
El concepto de límite está íntimamente ligado al concepto de función. Cada uno de los números que se acerca a 4 pueden obtenerse de una ecuación (lineal por ejemplo) como y = 4 + x. Donde al darle valores a x obtenemos "esos" números que se acercan a 4 por derecha e izquierda. Evidentemente, de acuerdo al tipo de ecuación que tengamos, serán los valores de x a tomar en cuenta.
En este caso no nos interesa cuando x = 0, ya que no queremos que "la cuenta" de 4 (que es nuestro límite).
x y = 4 + x
– 0,1 3,9
– 0,01 3,99
– 0,001 3,999
– 0,0001 3,9999
← Por izquierda
Por derecha → x y = 4 + x
0,1 4,1
0,01 4,01
0,001 4,001
0,0001 4,0001

El valor de x se acerca a "cero" y el valor de "y" (la imagen de la función) se acerca a 4. Para hablar con propiedad, en matemática no se dice "se acerca a" sino "tiende a"; x tiende a cero cuando y tiende a cuatro. Es real, a los que hacemos matemática no nos gusta escribir mucho. Se reemplaza las palabras con símbolos para ahorrar tiempo (el esfuerzo mental se reserva para el problema matemático). Así que en vez de escribir "tiende a" se pone una flecha. De manera que "x tiende a cero" se indica "x  0" e "y tiende a cuatro" se escribe como "y → 4".
Ya estamos un poco más cerca de poder leer "matemáticamente". El límite (lím) suele escribirse indicando debajo de él el valor a que tiende x, seguido de la ecuación que se analiza y (después del igual) se indica el valor del límite.


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No siempre los límites laterales (izquierda y derecha) son iguales. Analicemos la siguiente función.

Para hallar el límite de esta función (paramétrica) debemos separar la parte de la ecuación que se utiliza para valores menores o iguales que "1", (x + 3), de la parte que se utiliza con los valores mayores a "1", o sea, (x – 1).
Nuevamente (para escribir menos) indicamos con el signo "+" (colocado como súper índice en el lado derecho del número a que tiende x) cuando analizamos una función desde la derecha. Para Calcular el límite, sencillamente reemplazamos "x" por el número a que tiende:
Indicamos con el signo"–" (colocado como súper índice en el lado derecho del número a que tiende x) cuando analizamos una función desde la izquierda. Para Calcular el límite, sencillamente reemplazamos "x" por el número a que tiende:

Los límites laterales (izquierda y derecha) no son iguales, entonces, la función no tiene límite en x = 1.

Probemos con otra función y analicemos los límites laterales; si ellos dan lo mismo, el límite de la función es ese valor.




-05-

Definición matemática de límite
Hemos visto que el proceso de límite es un "acercamiento perpetuo" a un valor determinado de x (al que llamaremos xo) en una función, sin importarnos cual sea la imagen de x.
Para poder entender el proceso de límite necesitamos utilizar nuestra imaginación, buscando una metáfora del proceso de límite, podríamos compararlo con la llegada de un tren a la estación. No nos importa que estación sea ni cómo se llame, ni siquiera como es la estación. Lo único que nos interesa cómo se acerca el tren (de cualquiera de los dos lados).
Si bien la definición de límite puede variar mínimamente de un libro a otro, vamos a encontrar la misma estructura en cada uno de ellos y (generalmente) se utilizan las mismas letras para no crear confusión. En este caso utilizaré la definición que se encuentra en el libro de análisis matemático I de la cátedra Thompson de ciencias económicas de la Universidad de Buenos Aires (UBA) (2008)
Sea f una función definida en todos los puntos del intervalo (a, b), salvo quizás en xo perteneciente a (a, b). Decimos que f(x) tiene límite L cuando x se acerca a xo notándolo (escribiéndolo como):







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Presupongo que para la mayoría que esté leyendo este artículo, leer esta definición se asemeja mucho a tratar de descifrar un texto en sánscrito, por lo que traduciré lo que significa.















La definición nos habla de un intervalo (a, b) dentro del cual hallamos el valor de xo que buscamos. No nos sirve que esté fuera ya que queremos indicar claramente donde podemos encontrarlo. Si decimos que xo pertenece al intervalo (1, 2) ella tiene muchos valores posibles pero siempre será mayor que 1 y menor que 2. Así que cuanto más pequeño sea el intervalo, mejor "definido" estará el valor de xo. Justamente la distancia entre a y xo se denomina δ. Como a y b son valores de x esa distancia (que la calculamos como una resta) se escribe x – xo. Nos interesa el valor de la distancia por lo que la operación se encierra en un módulo (valor absoluto).

Así δ es la distancia entre xo y cualquiera de los extremos del intervalo que lo contiene. Cuando se escribe se quiere decir que existe una δ cuyo valor es positivo (mayor que cero) ya que representa una distancia.

Cuando se escribe: Se está diciendo que ese valor lo calculamos restando los extremos del intervalo con el valor medio que representa xo. Determinando un entorno reducido cuyo radio es δ.
Lo mismo sucede en la imagen, pero en este caso el radio del entorno reducido se denomina ε. Así que se traduce como: para toda épsilon que es mayor que cero.
Nuevamente tenemos una distancia pequeña y positiva que corresponde a las imágenes.
Donde antes teníamos a x ahora encontramos a f(x), donde estaba xo ahora nos encontramos con su imagen L, así tenemos que
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Entonces ahora traduzcamos la definición de límites:

Tenemos un límite de x tendiendo a xo cuyo límite es L, si y sólo si, para todo valor de épsilon mayor que cero, existe un valor delta, también mayor a cero, de manera que la diferencia (recta) entre x y xo sea positiva y menor a delta, entonces, hallaremos una diferencia entre f(x) y L de manera que sea menor a épsilon.
Esta definición relaciona los radios de los entornos reducidos entre sí y nos permite "elegir" cuan pequeños queremos que sea ese intervalo. δ se halla sobre el eje x, mientras que ε se halla sobre el eje y.
Otra pregunta frecuente es ¿para qué nos sirve todo esto?....
Para contestar esta pregunta, nuevamente, necesitas imaginación, ya que δ, ε, x, f(x) carecen de significado, y pueden representar muchas cosas.
Imaginemos que estamos investigando la acción de una droga en pacientes oncológicos (que padecen cáncer).x puede representar la cantidad administrada de un medicamento, mientras que y (f(x)) representa la presión sanguínea generada por el medicamento. Así pues, xo es la dosis que produce una presión L que puede producir un derrame cerebral en el paciente, pero que elimina eficazmente las células cancerígenas. Aquí adquiere gran importancia δ y ε, queremos acercarnos pero no llegar. Para eso sirve el proceso de límite (en este caso un límite desde la izquierda que tiende a valores menores de xo).
Límite de una función

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Definición rigurosa
Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

Si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee. Formalmente, utilizando términos lógico-matemáticos:

Esta definición se denomina frecuentemente definición épsilon-delta de límite, y se lee como: "para cada número real ε mayor que cero existe número un real δ mayor que cero tal que, para todo x, si la distancia entre x y c (x no es igual a c) es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".
Límite de una función en un punto
Sea f una función real, entonces
( )
Si y sólo si:
Para todo existe un δ > 0 tal que para todo número real x en el dominio de la función

Notación formal:
Límites notables
Como ejemplo de límites notables tenemos los siguientes límites de funciones, que proveen resultados muy interesantes.
• (número e)
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•
•


Demostración
Para demostrar, por ejemplo, el segundo de estos límites, se utilizará la inecuación sen (x) < x < tan(x) en el intervalo (0,π/2), que relaciona x con las funciones seno y tangente. Luego dividimos por sen (x), obteniendo:

Invirtiendo los términos de la inecuación y cambiando los signos de desigualdad:

Calculando el límite cuando x tiende a 0:

Lo que es igual a:

Aplicando el teorema del sándwich o teorema de estricción, el límite necesariamente vale 1:

El tercero de los límites se demuestra utilizando las propiedades de los límites y el valor obtenido en el límite anterior. Es decir:

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El límite que obtiene el número e se demuestra de manera análoga, desarrollando el binomio de Newton y aplicando el límite cuando x tiende a infinito.



Límite de una sucesión


La definición del límite matemático en el caso de una sucesión es muy parecida a la definición del límite de una función cuando x tiende a . Decimos que la sucesión an tiende hasta su límite a, o que converge o es convergente (a a), lo que denotamos como:

Si podemos encontrar un número N tal que todos los términos de la sucesión a a cuando n crece sin cota. Formalmente:

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Propiedades de los límites
Generales
Los límites, como otros entes matemáticos, cumplen las siguientes propiedades generales, que son usadas muchas veces para simplificar el cálculo de los mismos.

• Límite por un escalar.
Donde k es un multiplicador escalar.
• Límite de una suma.

• Límite de una resta.

• Límite de una multiplicación.

• Límite de una división.

Indeterminaciones
Hay límites que evaluándolos directamente, se obtiene alguna de las siguientes expresiones:


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A estas expresiones se les denomina indeterminaciones, ya que, a simple vista, no está claro cuál puede ser el límite (si es que existe). Por ejemplo, en la segunda de estas ecuaciones, el límite pudiese valer 0, 1 o infinito. En algunos casos, simplificando las expresiones u obteniendo expresiones equivalentes a las iníciales, mediante racionalización o factorización se puede resolver la indeterminación y calcular el límite. En otros casos, se requerirá el uso de otras herramientas más potentes como pueden ser las desigualdades o la regla de L'Hopital.
Un ejemplo de indeterminación del tipo es la que se da en estos tres casos, y en cada caso (tras simplificar), se obtiene un límite distinto:



Derivadas
En cálculo (rama de las matemáticas), la derivada representa cómo una función cambia a medida que su entrada cambia. Pobremente hablando, una derivada puede ser vista como cuánto está cambiando el valor de una cantidad en un punto dado; por ejemplo, la derivada de la posición de un vehículo con respecto al tiempo es la velocidad instantánea con la cual el vehículo está viajando.
La derivada de una función en un valor de entrada dado describe la mejor aproximación lineal de una función cerca del valor de entrada. Para funciones de valores reales de una sola variable, la derivada en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en la gráfica de la función en dicho punto. En dimensiones más elevadas, la derivada de una función en un punto es la transformación lineal que más se aproxima a la función en valores cercanos de ese punto. Algo estrechamente relacionado es el diferencial de una función.
El proceso de encontrar una derivada es llamado diferenciación. El teorema fundamental del cálculo dice que la diferenciación es el proceso inverso de la integración en funciones continuas.


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La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en negro; la tangente a la curva está dibujada en rojo).
Conceptos y aplicaciones
El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal. El otro concepto es la "antiderivada" o integral; ambos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de límite, el cual separa las matemáticas previas, como el Álgebra, la Trigonometría o la Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del Cálculo Infinitesimal.
La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de f, se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto x. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.
Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación.
Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), son aproximables linealmente.

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Introducción geométrica a las derivadas

La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en negro; la tangente a la curva está dibujada en rojo).
Supongamos que tenemos una función y la llamamos . La derivada de es otra función que llamaremos .
Representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de en el punto .
En términos geométricos, está pendiente es "la inclinación" de la línea recta que pasa justo por encima del punto y que es tangente a la gráfica de .
Al identificar dos puntos muy cercanos en la gráfica y al unirlos mediante una línea recta, una pendiente queda visualizada. Cuanto más cercanos sean los dos puntos que se unen por medio de la recta, la recta se parece más a una recta tangente a la gráfica y su pendiente se parece más a la pendiente de una recta tangente.
Notamos que está pendiente coincide con la rapidez con que aumenta el valor de la función en cada punto. Dicho de otra manera, si la pendiente en un punto es muy grande, entonces el valor de la función en ese punto crece muy deprisa; si la pendiente es muy pequeña, entonces el valor de la función crece muy despacio en ese punto.
Es decir, tanto la pendiente de la recta tangente como la rapidez de crecimiento en un punto de una función está dado por .


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Lamentablemente no todas las funciones poseen derivada, desde el punto de vista geométrico esto se puede deber a varias cosas: por ejemplo hay funciones donde se da el caso de que por un mismo punto pasan muchas rectas tangentes(por ejemplo la función valor absoluto en el punto 0) y no es posible definir de manera única la pendiente a la recta tangente; también se da el caso de que no se puede definir la pendiente a una recta tangente en una función que no es continua; incluso hay funciones donde cualquier recta que pase por uno de sus puntos intercepta en una infinidad de puntos muy cercanos y por tanto no hay recta tangente. Las funciones que poseen derivada se llaman diferenciables.
Conocer la derivada de una función diferenciable por lo general resulta una tarea sencilla utilizando las técnicas de derivación desarrolladas por Gottfried Leibniz e Isaac Newton, las cuales permiten conocer las derivadas de muchas de las funciones de interés frecuente o bien, simplificar el trabajo para encontrar derivadas menos comunes.
Condiciones de continuidad de una función
Una función continua es aquella cuya regla de correspondencia asigna incrementos pequeños en la variable dependiente a pequeños incrementos de los elementos del dominio de dicha función, es decir, , y usando la expresión Δy + y = f(Δx + x), queda donde en este caso, f(x) = y. Ello quiere decir que , y si este último límite existe significa en consecuencia por un teorema de límites (un límite existe si y sólo si los dos límites laterales existen y son iguales) que toda función f(x) que cumpla con
es continua en el punto a.
Condición no recíproca
La relación no funciona a la inversa: el que una función sea continua no garantiza su derivabilidad. Es posible que los límites laterales sean equivalentes pero las derivadas laterales no; en este caso la función presenta un punto anguloso en dicho punto.
Un ejemplo puede ser la función valor absoluto (también llamada módulo) en el punto . Dicha función es equivalente a la función partida
Para valores infinitamente cercanos a 0, por ambas ramas, el resultado tiende a 0. Y el resultado en el punto 0 es también 0, por lo tanto es continua. Sin embargo, las derivadas resultan
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Cuando vale 0, las derivadas laterales dan resultados diferentes. Por lo tanto, no existe derivada en el punto, a pesar de que sea continuo.
De manera informal, si el gráfico de la función tiene puntas agudas, se interrumpe o tiene saltos, no es derivable.
Definición analítica de derivada como un límite

Esquema que muestra los incrementos de la función en x y en y.
En terminología clásica, diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad .
En matemáticas coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a cierto objeto como una variable, un vector unitario, una función base, etc.
En física coeficiente es una expresión numérica que mediante alguna fórmula determina las características o propiedades de un cuerpo.
En nuestro caso, observando la gráfica de la derecha, el coeficiente del que hablamos vendría representado en el punto de la función por el resultado de la división representada por la relación , que como puede comprobarse en la gráfica, es un valor que se mantiene constante a lo largo de la línea recta azul que representa la tangente en el punto de la función.
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Esto es fácil de entender puesto que el triangulo rectángulo formado en la gráfica con vértice en el punto , por mucho que lo dibujemos más grande, al ser una figura proporcional el resultado de es siempre el mismo.
Esta noción constituye la aproximación más veloz a la derivada, puesto que el acercamiento a la pendiente de la recta tangente es tanto por la derecha como por la izquierda de manera simultánea.
En particular, se tiene que la derivada de la función en el punto se define como sigue:
,
Si este límite existe, de lo contrario, f' no está definida. Esta última expresión coincide con la velocidad instantánea del movimiento continuo uniforme acelerado en cinemática.
Aunque podrían calcularse todas las derivadas empleando la definición de derivada como un límite, existen reglas bien establecidas, conocidas como teoremas para el cálculo de derivadas, las cuales permiten calcular la derivada de muchas funciones de acuerdo a su forma sin tener que calcular forzosamente el límite. Tales reglas son consecuencia directa de la definición de derivada y de reglas previas, como puede apreciarse en todo buen texto de cálculo infinitesimal.
También puede definirse alternativamente la derivada de una función en cualquier punto de su dominio de la siguiente manera:
,
La cual representa un acercamiento de la pendiente de la secante a la pendiente de la tangente ya sea por la derecha o por la izquierda según el signo de . El aspecto de este límite está relacionado más con la velocidad instantánea del movimiento uniformemente acelerado que con la pendiente de la recta tangente a una curva.
No obstante su aparente diferencia, el cálculo de la derivada por definición con cualquiera de los límites anteriormente expresados, proporciona siempre el mismo resultado.

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El conocimiento de todas las expresiones anteriores y su significado representan el acercamiento epistémico más completo posible en torno a la definición de derivada, y con ello, al aspecto esencial del cálculo diferencial.
Notación de derivadas
Existen diversas formas para nombrar a la derivada. Si f es una función, se escribe la derivada de la función respecto al valor en varios modos:
• {Notación de Lagrange}
Se lee "efe prima de equis"
• o {Notaciones de Cauchy y Jacobi, respectivamente}
Se lee " sub de ", y los símbolos D y d deben entenderse como operadores.
• { Notación de Newton}
Se lee "punto " o " punto". Actualmente está en desuso en Matemáticas puras, sin embargo se sigue usando en áreas de la física como la mecánica, donde otras notaciones de la derivada se pueden confundir con la notación de velocidad relativa. Se usa para definir la derivada temporal de una variable.
• , ó {Notación de Leibniz}
Se lee "derivada de ( ó de ) con respecto a ". Esta notación tiene la ventaja de sugerir a la derivada de una función con respecto a otra como un cociente de diferenciales.
La notación más simple para diferenciación, en uso actual, es debida a Lagrange. Para identificar las derivadas de en el punto ha, se escribe:
Para la primera derivada,
Para la segunda derivada,
Para la tercera derivada,

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Para la enésima derivada (n > 3). (También se pueden usar números romanos).
Para la función derivada de en , se escribe . De modo parecido. Para la segunda derivada de en , se escribe , y así sucesivamente.
La otra notación común para la diferenciación es debida a Leibniz. Para la función derivada de , se escribe:

Con esta notación, se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos modos diferentes:

Si , se puede escribir la derivada como

Las derivadas sucesivas, se expresan como
O
Para la enésima derivada de o de y respectivamente. Históricamente, esto viene del hecho que, por ejemplo, la tercera derivada es



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La cual, se puede escribir como

La notación de Leibniz es muy útil, por cuanto permite especificar la variable de diferenciación (en el denominador); lo cual es pertinente en caso de diferenciación parcial. También facilita recordar la regla de la cadena, porque los términos "d" parecen cancelarse simbólicamente:

En la formulación popular del cálculo mediante límites, los términos "d" no pueden cancelarse literalmente, porque por sí mismos son indefinidos; son definidos solamente cuando se usan juntos para expresar una derivada. En análisis no-estándar, no obstante, se puede ver como números infinitesimales que se cancelan.
La notación de Newton para la diferenciación respecto al tiempo, era poner un punto arriba del nombre de la función:

y así sucesivamente.
Esta notación de Newton se usa principalmente en mecánica, normalmente para derivadas de tiempo tales como velocidad y aceleración, y en teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Usualmente solo se usa para las primeras y segundas derivadas.
Diferenciabilidad
Una función con dominio en un subconjunto de los reales es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un intervalo si es diferenciable en todos los puntos del intervalo.
Si una función es diferenciable en un punto x, la función es continua en ese punto. Sin embargo, una función continua en x, puede no ser diferenciable en dicho punto. En otras palabras, Diferenciabilidad implica continuidad, pero no su recíproco.

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La derivada de una función diferenciable puede ser, a su vez, diferenciable. La derivada de una primera derivada se llama derivada segunda. De un modo parecido. La derivada de una derivada segunda es la derivada tercera, y así sucesivamente. Esto también recibe el nombre de derivación sucesiva o derivadas de orden superior.
Cociente de diferencias de Newton


La derivada de una función es la pendiente geométrica de la línea tangente del gráfico de en . Sin el concepto que se va a definir, no es posible encontrar directamente la pendiente de la línea tangente a una función dada, porque solamente se conoce un punto en la línea tangente: . La idea es aproximar la línea tangente con múltiples líneas secantes que tienen distancias progresivamente más pequeñas entre los dos puntos que cruzan. Cuando se toma el límite de las pendientes de las líneas secantes de esta progresión, se consigue la pendiente de la línea tangente. Se define, pues, la derivada tomando el límite de la pendiente de las líneas secantes, al acercarlas a la línea tangente.
Para encontrar las pendientes de las líneas secantes próximas, se elige un número relativamente pequeño . Representa un cambio relativamente pequeño en , y puede ser positivo o negativo. La pendiente de la línea que cruza los dos puntos y es
.
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Inclinación de la secante de la curva y=f(x).
Esta expresión es el cociente de diferencias de Newton. La derivada de f en x es el límite del valor del cociente diferencial, conforme las líneas secantes se aproximan a la línea tangente:
.
Si la derivada de existe en todos los puntos , se puede definir la derivada de como la función cuyo valor en cada punto es la derivada de en .
Puesto que sustituir por 0 produce una división por cero, calcular directamente la derivada puede no ser intuitivo. Una técnica posible consiste en operar en el numerador, de manera que se puede cancelar la del denominador. Y eso es posible fácilmente en los polinomios. Pero para muchas otras funciones el resultado es incierto. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan diferenciar la mayoría de las funciones simples.
Sea una función continua, y su curva. Sea la abscisa de un punto regular, es decir donde no hace un ángulo. En el punto de se puede trazar la tangente a la curva. Su coeficiente director, o sea su pendiente, es , el número derivado de en .
La función es la derivada de .



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En el punto de contacto, conociendo la pendiente de la tangente, es decir , se puede saber a qué ritmo crece o decrece la función. El signo de determina en función (si crece o no).

En este gráfico se ve que donde es creciente, las tangentes apuntan hacia arriba (mirando de izquierda a derecha), y por lo tanto es positiva, como en el punto ( ), mientras que donde es decreciente, las tangentes apuntan hacia abajo y es negativa, como en el punto ( ). En los puntos y , que son máximo y mínimo local, la tangente es horizontal, luego .
La función derivada se puede calcular sin dibujar la curva de f. En efecto, gracias a una propiedad geométrica de la tangente, se tiene la fórmula:



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Por ejemplo, sea

Entonces:

Derivada por definición
Derivada de una constante:
Aclaremos que una constante puede ser un número o una letra, es el término que no tiene "x"
Veamos pues como calculamos la derivada de una función constante utilizando la definición de derivada.
Para facilitar las operaciones conviene primero desarrollar f(x) y f(x + Δx) y reemplazarlas en el límite.
f(x) = k
f(x + Δx).= k

Vemos entonces que la derivada de una constante siempre da cero.
Si f(x) = k, entonces f '(x) = 0


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Derivada de una recta
Veamos pues como calculamos la derivada de una función lineal utilizando la definición de derivada. Volvemos a desarrollar f(x) y f(x + x) para facilitar las cuentas dentro del límite.
f(x) = m .x + b
f(x + Δx) = m .(x + Δx) + b = m x + mΔx + b


Si f(x) = m .x + b, entonces f '(x) = m (Como b es una constante, su derivada es cero.)
Si m es igual a 1 podemos ver claramente que la derivada de x es "1" f(x) = x, entonces, f '(x) = 1.




Derivada de una Parábola
Veamos pues como calculamos la derivada de una función cuadrática utilizando la definición de derivada.
Para no complicarnos utilicemos f(x) = x2
Volvemos a desarrollar f(x) y f(x + Δx) para facilitar las cuentas dentro del límite.
f(x) = x2
f(x + Δx) = (x + Δx)2= x2 + 2x Δx + Δx2

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Factorizamos Δx para poder simplificar.
Si f(x) = x2, entonces, f '(x) = 2x.
Derivada de una Raíz
Veamos pues como calculamos la derivada de una raíz utilizando la definición de derivada.
Para poder resolver la indeterminación del límite debemos racionalizar. (Recordar que hay que cambiar el signo) Por lo que al hacer distributiva nos queda una diferencia de cuadrado (esta operación deberán hacerla ustedes para ver que las raíces quedan con signos contrarios y pueden cancelarse)

Si






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Lista de derivadas de funciones elementales
Tabla de derivadas


























Ejemplo de derivadas
Sea la función , definida sobre el conjunto de los números reales (denotado por ). Para conocer sus variaciones se observa su derivada:

Para encontrar el signo de , se tiene que factorizar:

Lo anterior que se hace resolviendo una ecuación de segundo grado.
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También se observa su segunda derivada:
f''(x) = 12x − 18
Dado que y entonces tiene un máximo local en -1 y su valor es .
Dado que y entonces tiene un mínimo local en 4 y su valor es .
Nótese que la derivada es diferenciable en todo su dominio y hay exactamente 2 valores de x tales que , los cuales son y , tomando en cuenta el teorema del valor medio y que entonces la derivada es negativa en el intervalo por lo tanto la función es decreciente en el intervalo .
Al ser una función basada en un polinomio cúbico no está acotada ni por arriba ni por abajo y como su derivada es una función cuadrática entonces no tiene más de 2 puntos con derivada igual a cero, por tanto la función es creciente en el intervalo y en el intervalo .











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Conclusión
El limite y las derivadas están íntimamente ligados y relacionados con el concepto de funciones; el termino función fue usado por primera vez en 1637, una función en términos matemáticos es usada para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades, de igual manera se puede considerar como un caso particular de una relación o de correspondencia matemático, por ello se dice que el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función , a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor, al igual que las derivadas representan como una función cambia a medida que su entrada cambia, la derivada de una función es el valor de entrada dado describe la mejor aproximación lineal de una función cerca del valor de entrada; por lo tanto se puede decir que el límite y las derivadas son elementos fundamentales en la resolución de funciones matemáticas.












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Bibliografía

• http://es.wikipedia.org/wiki/Representaci%C3%B3n_gr%C3%A1fica_de_una_funci%C3%B3n

• http://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica


• http://espanol.answers.yahoo.com/question/index?qid=20070223063203AAUpLEY



















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